Question

已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通

已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{1Sn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是等差数列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①
∵a₂，a₇，a₂₂成等比数列，
∴a72=a₂?a₂₂，即(a1+6d)2=（a₁+d）（a₁+21d）．②
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去）．
∴a_n=4n+2．
（2）证明；由（1）得S_n=2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn?1

+

1

Sn

=

1

4

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n?1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

3

8

-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）．