Question

已知等差数列{a n }中，a 1 =-1，前12项和S 12 =186．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }

已知等差数列{a n }中，a 1 =-1，前12项和S 12 =186．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足 b n =( 1 2 ) a n ，记数列{b n }的前n项和为T n ，若不等式T n ＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d，∵a 1 =-1，S 12 =186， ∴ S 12 =12 a 1 + 12×11 2 d ，即186=-12+66d．∴d=3． 所以数列{a n }的通项公式a n =-1+（n-1）×3=3n-4． （Ⅱ）∵ b n =( 1 2 ) a n ，a n =3n-4，∴ b n =( 1 2 ) 3n-4 ． ∵当n≥2时， b n b n-1 =( 1 2 ) 3 = 1 8 ， ∴数列 f(1)= 1 4 ，故 k 1 = 1 4 ．是等比数列，首项 b 1 =( 1 2 ) -1 =2 ，公比 q= 1 8 ． ∴ T n = 2[1- ( 1 8 ) n ] 1- 1 8 = 16 7 ×[1-( 1 8 ) n ] ． ∵ 16 7 ×[1-( 1 8 ) n ]＜ 16 7 (n∈N*) ，又不等式T n ＜m对n∈N*恒成立， 而 1-( 1 8 ) n 单调递增，且当n→∞时， 1-( 1 8 ) n →1 ， ∴m≥ 16 7 ．