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(2014?广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙
(2014?广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交...
(2014?广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.(1)求证:E是AC的中点;(2)若AE=3,cos∠ACB=23,求弦DG的长.
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∵AB为⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线,
又∵DE与⊙O相切,
∴ED=EA,
∴∠EAD=∠EDA,
而∠C=90°-∠EAD,∠CDE=90°-∠EDA,
∴∠C=∠CDE,
∴ED=EC,
∴EA=EC,
即E为AC的中点;
(2)解:由(1)知,E为AC的中点,则AC=2AE=6.
∵cos∠ACB=
2 |
3 |
1?(
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3 |
连接AD,则∠ADC=90°,
∴∠ACB+∠CAD=90°,
∵∠CAD+∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠ACB,
在Rt△ACD中,AD=AC?sin∠ACB=6×
| ||
3 |
5 |
在Rt△ADF中,DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=2
5 |
| ||
3 |
10 |
3 |
∴DG=2DF=
20 |
3 |
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