Question

（2014?广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙

（2014?广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．（1）求证：E是AC的中点；（2）若AE=3，cos∠ACB=23，求弦DG的长．

Answer 1

（1）证明：连AD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为AC的中点；

（2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB=

2

3

，∴sin∠ACB=

1?( 2 3 )2

=

5

3

．
连接AD，则∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC?sin∠ACB=6×

5

3

=2

5

．
在Rt△ADF中，DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=2

5

×

5

3

=

10

3

，
∴DG=2DF=

20

3

．