Question

设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双

设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若.OP=λ.OA+μ.OB（λ，μ∈R），λμ=316，则该双曲线的离心率为______．

Answer 1

双曲线的渐近线为：y=±

b

a

x，设焦点F（c，0），则A（c，

bc

a

），B（c，-

bc

a

），P（c，

b2

a

），
∵

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

，∴（c，

b2

a

）=（（λ+μ）c，（λ-μ）

bc

a

），
∴λ+μ=1，λ-μ=

b

c

，解得λ=

c+b

2c

，μ=

c?b

2c

，
又由λμ=

3

16

，得

c+b

2c

×

c?b

2c

=

3

16

，解得

a2

c2

=

4

3

，
∴e=

c

a

=

2 3

3

故答案为：

2 3

3

．