Question

（2014?余姚市模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ

（2014?余姚市模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（

p

2

，0），准线为x=?

p

2

，
由抛物线的定义可知：4=3+

p

2

，p=2
∴抛物线方程为y²=4x；
（II）由于抛物线y²=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，
设直线AB：x=my+1，与y²=4x联立，消去x，整理得：
y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），有

y1+y2＝4m y1y2＝?4

易知k3＝?

t

2

，而k1+k2＝

y1?t

x1+1

+

y2?t

x2+1

=

(x2+1)(y1?t)+(x1+1)(y2?t)

(x1+1)(x2+1)

=

( y 2 2 4 +1)(y1?t)+( y 2 1 4 +1)(y2?t)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

?t(4m2+4)

4m2+4

＝?t=2k₃
∴存在实数λ=2，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．