（2013?聊城二模）如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E
（2013?聊城二模）如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A...
（2013?聊城二模）如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-DE-C1的余弦值．
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解答：
（Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，
AD，AA1所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A1（0，0，3），C1（1，
，1），C（1，
，0），B（-1，
，0），E（
，
，0）
=（-3，
，0），
=（1，
，0），
=（-
，
，3），
∵
?
=-3+3=0，
?
=-
+
=0，
∴A1C1⊥DB，A1C1⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDEl，
∴A1C1⊥平面BDE，又A1C1?平面AC1D，∴平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：
=（
，
，0），
=（-1，
，0）
设平面C1DE的一个法向量为
=（x，y，z），则
（Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，AD，AA1所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A1（0，0，3），C1（1，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DB |
| 3 |
| A1C1 |
| 3 |
| DE |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| DB |
| A1C1 |
| DE |
| A1C1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴A1C1⊥DB，A1C1⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDEl，
∴A1C1⊥平面BDE，又A1C1?平面AC1D，∴平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：
| EC1 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DC |
| 3 |
设平面C1DE的一个法向量为
| m |
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