Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞1）（Ⅰ）若函数y=|f（x）-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；（Ⅱ）若

已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞1）（Ⅰ）若函数y=|f（x）-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|f（x1）-f（x2）|≤e2-2（其中e是自然对数的底数）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
∴求导函数，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴f（x）_min=f（0）=1，
由|f（x）-b+

1

b

|-3=0，
得：f（x）=b-

1

b

+3，或f（x）=b-

1

b

-3，
∵函数y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四个零点，
∴

b- 1 b +3＞1 b- 1 b -3＞1

，
∴b-

1

b

＞4，
解得：b＞2+

5

，2-

5

＜b＜0，
∴b的范围是（2-

5

，0）∪（2+

5

，+∞），
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，
总而再来比较f（-1），与f（1）的大小即可，
f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
则f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
设g（a）=a-

1

a

-2lna，（a＞1），
则g′（a）=(

1

a

-1)2＞0，
即g（a）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）=1-1=0，
则g（a）＞0，