已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．（Ⅰ）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面A...
已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．（Ⅰ）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．
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（I）证明：∵在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，
∴O为BD的中点，
又M为AB的中点，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
证明：（II）在△AOC中，∵AC=1，AO＝CO＝
，
∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
则O(0，0，0)，A(0，0，
)，C(
，0，0)，B(0，?
，0)，D(0，
，0)，
＝(0，0，
)是平面BCD的一个法向量．
∴O为BD的中点，
又M为AB的中点，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
证明：（II）在△AOC中，∵AC=1，AO＝CO＝
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∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
则O(0，0，0)，A(0，0，
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