Question

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示. (1)

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示. (1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

Answer 1

(1)见解析   (2)

(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO= , 所以AC 2 =AO 2 +CO 2 ,所以AO⊥CO. 又AO⊥BD,BD∩CO=O, 所以AO⊥平面BCD. (2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz, 则有O(0,0,0),D(0, ,0), C( ,0,0),B(0,- ,0). 设A(x 0 ,0,z 0 )(x 0 <0), 则 =(x 0 ,0,z 0 ), =(0, ,0). 平面ABD的一个法向量为n=(z 0 ,0,-x 0 ). 平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°, 所以|cos<m,n>|=|cos120°|= ,得 =3 . 因为OA= ,所以 = .解得x 0 =- ,z 0 = .所以A(- ,0, ). 平面ABC的一个法向量为l=(1,-1, ). 设二面角A-BC-D的平面角为θ, 所以cosθ=|cos<l,m>|=| |= . 所以tanθ= . 所以二面角A-BC-D的正切值为 . 方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO= ,所以AC= . 如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H, 因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH?平面AOC,所以BD⊥AH. 又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK?平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角. 在△AOH中,得AH= ,OH= ,所以CH=CO+OH= + = . 在Rt△CHK中,HK= = , 在Rt△AHK中,tan∠AKH= = = . 所以二面角A-BC-D的正切值为 .