Question

（本小题满分14分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分

（本小题满分14分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC的中点，且DE∥BC.(1)求证：DE∥平面ACD(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

Answer 1

（1）略 ；(2)见解析；(3) AD与平面PAC所成角的正弦值为 .

本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题． （1）因为DE∥BC.可以推理证明DE∥平面ACD （2）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可； （3）D为PB的中点，作出AD与平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可 解：（1）略 。。。。。。。。4分 (2)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.。。。。。。。。。9分 (3)∵D为PB的中点，DE∥BC，  ∴DE＝ BC. 又由(1)知，BC⊥平面PAC，   ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E， ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB. 又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD＝ AB. 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝ AB， ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝ ＝ ＝ ， 即AD与平面PAC所成角的正弦值为 .。。。。。。。。。。。。。。。。14分