Question

如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延

如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F（1）求证：DE=DF； （2）若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；（3）当∠B=22.5，CA=CB时，请探索：点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形？若不能，请说明理由；若能，求出BC与CE的数量关系．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
在△AFD与△ECD中，

∠FAC＝∠ACE AD＝CD ∠ADF＝∠CDE(对顶角相等)

，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DE=DF；

（2）解：是菱形．
理由如下：∵AC丄EF，四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；

（3）能．
理由如下：∵∠B=22.5°，CA=CB，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=22.5°×2=45°，
∵四边形AFCE为正方形，
∴AE⊥CE，
∴Rt△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=

2

CE，
故BC=

2

CE，
故当BC=

2

CE时，点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形．