Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．（1）求证：BE ∥ 平面PAD；（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）取PD中点F，连接EF，AF， ∵E是PC的中点，∴ EF ∥ . 1 2 DC ， 又∵ AB ∥ . 1 2 CD ，∴ EF ∥ . AB ， ∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE ∥ AF， ∵BE?平面PAD，AF?平面PAD， ∴BE ∥ 平面PAD． （2）取CD的中点H，连接AH、EH、AE、BH， ∵ AB ∥ . 1 2 CD ，∴ AB ∥ . CH ， ∴四边形ABCH为平行四边形，∴ BC ∥ . AH ． 令AB=1， 在Rt△ADH中，由勾股定理得 AH= 2 2 + 1 2 = 5 ． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD， ∴ PD=2 2 ，AF= 1 2 PD= 2 ． ∵四边形ABHD为平行四边形，AD⊥AB， ∴四边形ABHD为矩形，∴ AH= 1 2 + 1 2 = 2 ． 由三角形的中位线定理可知： EH= 1 2 PD = 2 ， 由以上作法可知：∠AHE或其补角即为异面直线PD与BC所成的角． ∵PA⊥AB，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AF． 又∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF为矩形， ∴ AE= A F 2 +E F 2 = ( 2 ) 2 + 1 2 = 3 ． 在△AEH中，由余弦定理得cos∠AHE= ( 5 ) 2 +( 2 ) 2 -( 3 ) 2 2 5 2 = 10 5 ． 因此异面直线PD与BC所成角的余弦值为 10 5 ．