Question

（2014?安庆一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AF

（2014?安庆一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=33，AE=3，求AF的长；（3）若CD=CE，则直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．试证明之．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD=3

3

，AE=3，
∴DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得

AF

DC

＝

AD

DE

，
∴AF=

DC×AD

DE

=

4×3 3

6

=2

3

．  

（3）过点E作EH⊥CD于点H．
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE．
又∵∠EAD=∠EHD=90°，DE=DE，
在△ADE和△HDE中，

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