Question

已知函数f（x）=log 1a[（a-1）x-2]．（1）若a＞1，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞0在[1，54]上恒成

已知函数f（x）=log 1a[（a-1）x-2]．（1）若a＞1，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞0在[1，54]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解（1）：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得x＞

2

a?1

∴f（x）的定义域是（

2

a?1

，+∞）
（2）：①若a＞1，则0＜

1

a

＜1，即在[1，

5

4

]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，
∴（a-1）x-2为单调增函数，只要

a?1?2＞0 (a?1)× 5 4 ?2＜1

，
∴3＜a＜

17

5

②若0＜a＜1，则

1

a

＞1，即在[1，

5

4

]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，
∴（a-1）x-2为单调减函数，只要（a-1）×

5

4

-2＞1，
∴a＞

17

5

∵0＜a＜1，∴a∈?
综上，a 的取值范围为（3，

17

5

）