Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A，B为抛物线上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在A，B处的切线

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A，B为抛物线上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在A，B处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，l1与l2相交于点D．（Ⅰ）求点D的轨迹方程；（Ⅱ）假设D点的坐标为（32，-1），问是否存在经过A，B两点且与l1，l2都相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)．
由抛物线C：x²=2py（p＞0），可得y′=

x

p

．
则抛物线C在A，B处的切线l₁，l₂的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

．
∵l₁⊥l₂，∴

x1

p

×

x2

p

=-1，解得x₁x₂=-p²．
∴抛物线C在A，B处的切线分别为l₁：y?

x 2 1

2p

＝

x1

p

(x?x1)，
l₂：y?

x 2 2

2p

＝

x2

p

(x?x2)，．
化简为：

x

2 1

?2xx1+2py=0，

x

2 2

?2xx2+2py＝0．
∵x₁≠x₂，∴x₁，x₂是一元二次方程t²-2xt+2py=0的两个实数根．
∴x₁x₂=2py，
∴2py=-p²，解得y=-

p

2

．
∴点D的轨迹方程为：y=-

p

2

．
（2）∵D点的坐标为（

3

2

，-1），∴?

p

2

=-1，解得p=2．
∴抛物线的方程为：x²=4y．
假设存在经过A，B两点且与l₁，l₂都相切的圆．
则x₁，x₂是一元二次方程t²-3t-4=0的两个实数根．
取x₁=-1，x₂=4，∴A(?1，

1

4

)，B（4，4）．
过点A与l₁垂直的直线方程为：y?

1

4

＝2(