Question

已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切

已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M．（Ⅰ）若△MAB面积的最小值为4，求p的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．

Answer 1

（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+

p

2

，
则将直线l的方程代入抛物线C的方程得x²-2pkx-p²=0，
则x1+x2＝2pk，x1x2＝?p2，（*）
∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+

p

2

+y2+

p

2

=kx₁+p+kx₂+p=2p（k²+1），
∵直线MA为抛物线在A点处的切线，∴kMA＝y′|x＝x1=

x1

p

，
∴直线MA的方程为y=

x1

p

x?

x12

2p

，
同理，直线MB的方程为

x2

p

x?

x22

2p

，
联立直线MA，MB的方程得M（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），
又由（*）式得M（pk，-

p

2

），
则点M到直线l：y=kx+

p

2

的距离d=p

k2+1

，
∴S_△MAB=

1

2

|AB|d=p2(k2+1)

3

2

≥p²，
由△MAB的面积的最小值为4，得p²=4，故p=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MA?k_MB=

x1x2

p 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是？ 评论 收起 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2013-03-06 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。 66 2016-12-01 已知抛物线C:x2=2py(p＞0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点 15 2011-02-06 已知抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为f,a、b是抛物线c上异于坐标原点o的不同两点，抛物线c在点a、b处的切线分 3 2015-12-28 已知抛物线C：x^2=2py(p>0)的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是 1 2013-01-16 已知抛物线x2=2py(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于AB两点，抛物线在AB两点处的切线相交于点Q 4 2014-02-15 直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点，若 3 2014-02-20 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F在直线l：x-y+1=0上 （I）求抛物线C的方程； 4 2019-08-06 设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，分... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式