Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足4b1?14b2?1

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足4b1?14b2?1…4bn?1=（an+1） bn（n∈N*），证明{bn}是等差数列．

Answer 1

（1）∵∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，∴a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，
即a_n=2ⁿ-1，求数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（2）若数列{b_n}满足4b1?14b2?1…4bn?1=（a_n+1） bn（n∈N^*），
则4b1?14b2?1…4bn?1=（2ⁿ） bn，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，①
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，④
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
则b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴{b_n}是等差数列．