Question

已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．（Ⅰ）当a=π2时，求函数f（x）值域；（Ⅱ）当a＞π2时

已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．（Ⅰ）当a=π2时，求函数f（x）值域；（Ⅱ）当a＞π2时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）当a=

π

2

时，f（x）=（x-

π

2

）sinx+cosx，x∈（0，π）．
f′（x）=（x-

π

2

）cosx，由f′（x）=0得x=

π

2

，
f（x），f′（x）的情况如下：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）
x- π 2	-	0	+
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	-
f（x）	↓		↓

因为f（0）=1，f（π）=-1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）cosx，
①当

π

2

＜a＜π时，f（x），f′（x）的情况如下

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，a）	a	（a，π）
x-a	-		-	0	+
cosx	+	0	-		-
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓		↑		↓

所以函数f（x）的单调增区间为（

π

2

，a），单调减区间为（0，

π

2

）和（a，π）．
②当a≥π时，f（x），f′（x）的情况如下

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）
x-a	-		-
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓		↑

所以函数f（x）的单调增区间为（

π

2

，π），单调减区间为（0，

π

2

）．