已知函数f(x)=(x-a)sinx+cosx,x∈(0,π).(Ⅰ)当a=π2时,求函数f(x)值域;(Ⅱ)当a>π2时
已知函数f(x)=(x-a)sinx+cosx,x∈(0,π).(Ⅰ)当a=π2时,求函数f(x)值域;(Ⅱ)当a>π2时,求函数f(x)的单调区间....
已知函数f(x)=(x-a)sinx+cosx,x∈(0,π).(Ⅰ)当a=π2时,求函数f(x)值域;(Ⅱ)当a>π2时,求函数f(x)的单调区间.
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(Ⅰ)当a=
时,f(x)=(x-
)sinx+cosx,x∈(0,π).
f′(x)=(x-
)cosx,由f′(x)=0得x=
,
f(x),f′(x)的情况如下:
x | (0,) | | (,π) |
x- | - | 0 | + |
cosx | + | 0 | - |
f′(x) | - | 0 | - |
f(x) | ↓ | | ↓ |
因为f(0)=1,f(π)=-1,
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
(Ⅱ)f′(x)=(x-a)cosx,
①当
<a<π时,f(x),f′(x)的情况如下
x | (0,) | | (,a) | a | (a,π) |
x-a | - | | - | 0 | + |
cosx | + | 0 | - | | - |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↓ | | ↑ | | ↓ |
所以函数f(x)的单调增区间为(
,a),单调减区间为(0,
)和(a,π).
②当a≥π时,f(x),f′(x)的情况如下
x | (0,) | | (,π) |
x-a | - | | - |
cosx | + | 0 | - |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↓ | | ↑ |
所以函数f(x)的单调增区间为(
,π),单调减区间为(0,
).
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