Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=anc?an+1（c为常数，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求证：

在数列{an}中，a1=1，an+1=anc?an+1（c为常数，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求证：数列{1an}是等差数列（2）求c的值（3）设bn=an?an+1，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜12．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=

an

c?an+1

∴

1

an+1

＝

c?an+1

an

=

1

an

+c
∴数列{

1

an

}是等差数列；
（2）由（1）知数列{

1

an

}是以1为首项，c为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n=

1

cn+1?c

∴a₂=

1

c+1

，a₅=

1

4c+1

，
因为a₁，a₂，a₅成等比数列，
所以(

1

c+1

)2＝

1

4c+1

×1，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₅，不符合题意舍去，
故c=2；
（3）证明：由（2）知a_n=

1

2n?1

，b_n=a_n?a_n+1=

1

2n?1

?

1

2n+1

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

(1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+ 

1

2n?1

?

1

2n+1

)=

1

2

(1?

1

2n+1

)＜

1

2

故S_n＜

1

2

．