Question

请教大家一道函数问题！谢了！

若函数f (x) = ( x + 1 / x ) / ( [x][1/x] + [x] + [1/x] + 1 )，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数。

（1）当 x 为正整数时，函数f (x) 的最小值为

（2）当 x > 0 时，函数f (x) 的值域为
答案是：1/2；{1/2}U[5/6，5/4]，请给过程。

Answer 1

1.x=1时 取得最小值1/2，
2.值域[0.5，1.25）(在x或1/x取得1.99999。。。情况下函数值接近1.25)

Answer 2

（1）当x为正整数时，
1.当x=1时，[x]=1,[1/x]=1，f(x)=1/2,即f(x)的最小值是1/2。
2。当x>=2时，[x]=x,[1/x]=0,f(x)=(x+1/x）/（x+1)，设y=f(x）<1，则y=(x^2+1)/(x^2+x),即(y-1）x^2+yx-1=0在x>=2上有解，设g(x)=(y-1）x^2+yx-1
g(0)=-1,g(2)=6y-5,
当对称轴x=-y/2(y-1)在(0,2]内，即y<=4/5时，只需满足g(2)>=0即可，解得y>=5/6.所以此种情况不成立
当对称轴x=-y/2(y-1)在[2,正无穷）内时，即y>=4/5，只需满足g(2)>=0,解得y>=5/6,所以y的最小值是4/5
（2）由（1）知，当x是正整数时函数f (x) 的值域是[4/5,1)当x是分数时，
1.当x在区间(0,1)内时，[x]=0,(1/x-1)<=[1/x]<1/x,求得
函数f (x) 的值域为(0,2)
2.当x在区间(1,正无穷）时，[1/x]=0,x-1<=[x]<=x,解得函数f (x) 的值域为
【4/5,2】
综上所述，函数f (x) 的值域为【4/5,2】