Question

高中数学函数定义证明，

大致都懂，有些小地方不懂。。比如这道题把，判断函数f(x)=-x^2+2x在（-∞，0）上是单调增函数还是单调减函数。并写出他的所有单调区间。
解：设x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=(-x1^2+2x1)-(-x2^2+2x2)
=-x1^2+2x1+x2^2-2x^2
最后=(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x) x2在(-∞,0)上是增函数，
我不懂的就是最后=(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0，，为什么要<0呢？不可以>0吗？然后判断是否增减函数是不是判断后面的<0和自己设的<0一样就是增函数，相反就是减函数？
请教大哥大姐，

Answer 1

答：因为你设了x1<x2<0
所以有：(x1-x2)<0 和 -(x1+x2）>0，那么 [-(x1+x2)+2]>0，
所以肯定有：(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0，这个问题解决了，看下一个问题；
你是要判断是否增减对吧。 因为你设x1<x2<0，
然后得出：f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0，即：f(x1)<f(x2)
说明在x属于（-∞，0）这范围内都有x1<x2<0，f(x1)<f(x2)成立即它为增函数。 如果你设的是x1<x2<0，得出f(x1)>f(x2)，那么就是减函数了。
（如果不是很清楚的话你可以画一下图就明白了，数学的学习中“数形结合”的思想很重要）
本道题你试试设x2<x1<0，然后你会得出f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，由上面说的数形结合思想很快就可以判断出是单调递增函数

Answer 2

由题设x1<x2<0 ，所以(x1-x2)＜0。 (x1+x2)＜0，则-(x1+x2)＞0，-(x1+x2)+2＞0。 所以(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0 最后＜0 是得出来的，不是人为规定的，不可能＞0。这是客观事实。

简单的说是这么判断的。定义：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小,如果f（x1）＜f（x2）即f（x1）- f（x2） ＜0，则函数是增函数。同理可得减函数。

Answer 3

最后=(x1-x2)[-(x1+x2)+2]<0
这个是由你的解设得来的，x1<x2<0,那么
x1-x2<0
x1+x2<0,-(x1+x2)+2>0
两个式子相乘，所以结果是小于0

在函数的单调性里，自变量大，函数值也大的，叫做增函数。否则就是减函数。
在解题中，体现在，x1<x2,f(x1)<f(x2),这样的，就是增函数！
x1<x1,f(x1)>f(x2),这样的，就是减函数！

Answer 4

你设X1X 2是就设了他俩的大小关系！定义里fx1－fx2＜0它才是增函数、所以是小于0
判断增减函数的题能花出图像最好用图像法