Question

求解关于数列的问题

1. 数列｛an｝满足a1=1,a2=3,a n+2(n+2是a的下标）=3a n+1(n+1是a的下标）-2an(n∈正整数),证明：数列｛a n+1-an ｝是等比数列

2.数列｛an｝满足an=n×2＾n,求前n项和记为Sn（错位相减法）

Answer 1

Sn=3an-5n，S(n-1)=3a(n-1)-5n+5
an=Sn-S(n-1)=3an-3a(n-1)-5
2an-5=3a(n-1)→2(an+5)=3[a(n-1)+5]
所以{an+5}是以a1-5为首项3/2为公比的等比数列
a1=S1=3a1-5,a1=5/2
所以an=(15/2)*(3/2)^(n-1)-5
bn=(5n+10)/[(15/2)*(3/2)^(n-1)]

=2/3*(2n+4)/[(3/2)^(n-1)]

=(n+2)*(2/3)^n

Tn=3*(2/3)+4*(2/3)^2+……+(n+2)*(2/3)^n
2/3Tn= 3*(2/3)^2+……+(n+2)*(2/3)^n+(n+3)*(2/3)^(n+1)
相减1/3Tn=2+[(2/3)^2+(2/3)^3+……+(2/3)^n]-(n+3)*(2/3)^(n+1)
然后中间有等比数列n项和公式
最后两边同时乘以3
我求出来是Tn=10-(10+2n)*(2/3)^n
证明如下
(10+2n)*(2/3)^n＞0
Tn＜10
求采纳

Answer 2

a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)
a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-a(n)]

令b(n)=a(n+1)-a(n) (n>=1)
则有b1=1 b(n+1)=2b(n) 所以b(n)是等比数列 公比为2
即｛a n+1-an ｝是等比数列

--------分割线--------

Sn=an+a(n-1)+...+a2+a1
=n*2^n + (n-1)*2^(n-1) +...+ 3*2^3 + 2*2^2 + 1*2^1
2*Sn=n*2^(n+1) + (n-1)*2^n + (n-2)*2^(n-1) +...+ 2*2^3 + 1*2^2
②式-①式有
Sn=n*2^(n+1) -2^n - 2^(n-1) -...-2^2 - 1*2^1
= n*2^(n+1) - [2^(n+1)-2]
= (n-1)*2^(n+1) + 2

Answer 3

1.令Bn=An+1-An,那么B1=A2-A1=2,
Bn+!/Bn=(An+2-An+1)/(An+1-An)=2为定值。
所以数列{An+1-An}是等比数列。
2.Sn=a1+a2+a3+...+an=2+8+24+...+n2^n ①
2Sn= 4+16+48+...+(n-1)2^n+n2^(n+1) ②
①-②，得
-Sn=2+4+8+...+2^n-n2^(n+1)
Sn=-2^(n+1)+n2^(n+1)+2
=(n-1)2^(n+1)+2