Question

RT三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径为CA的扇形CEF绕C点旋转，且直线CE、CF分

接：与直线AB交于M、N。当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，求证：MN的平方等于AM的平方加上BN的平方

Answer 1

证明：
因为△abc是等腰直角三角形，∠acb=90°
所以ac＝bc，∠a＝∠abc＝45°
将△acm绕c旋转90度到△cbd的位置，连接nd
因为△acm≌△bcd
所以cm＝cd，∠acm＝∠bcd，∠a＝∠cbd＝45°，am＝bd
因为∠acb＝90°，∠mcn＝45°
所以∠acm＋∠bcn＝45°
所以∠bcd＋∠bcn＝45°，即∠dcn＝45°
所以∠mcn＝∠dcn
又因为cn＝cn
所以△mcn≌△dcn（sas）
所以mn＝nd
因为∠dbn＝∠abc＋∠cbd＝45°＋45°＝90°
所以△bdn是直角三角形
所以bd^2＋bn^2＝dn^2
由于am＝bd，mn＝nd
所以mn^2＝am^2＋bn^2

Answer 2

CEF绕C点旋转，E，F在斜边AB上，
线段AE，EF，FB总可以构成直角三角形。
证明：将△CAE绕C逆时针旋转90°，
A点和B点重合，E点到P，连PF，△CAE≌△CBP。
∴BP=AE，
又CP=CE，∠ECF=∠PCF=45°，CF是公共边，
∴△CEF≌△CPF，（S，A，S）
∴EF=PF，
∵∠PBF=45°+45°=90°，
∴线段AE，EF，FB构成直角三角形。

Answer 3

三角形ABC是等腰直角三角形，半径为CA的扇形CEF绕C点旋转只能交AB于A、B。
题有误！