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用洛必达法则求lim(1+sinx)^1/x的极限,x趋向于0
极限值为e。
解题过程如下:
1/(1+sinx)xcosx/1
=cosx/(1+sinx)
x-0
原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
lna=1
a=e^1=e
答:原函数的极限值为e.
扩展资料
应用条件
在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
注意事项
求极限是高等数学中最重要的内容之一,也是高等数学的基础部分,因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。
极限值为e。
解题过程如下:
令a=lim(1+sinx)^(1/x)
则:lna=ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=lim[ln(1+sinx)^(1/x)]
limln(1+sinx)^(1/x)=lim1/xln(1+sinx)=lim[ln(1+sinx)/x]
x→0时,ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=ln1=0
根据洛必达法则,1/(1+sinx)xcosx/1=cosx/(1+sinx)
因此,ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
即:lna=1
a=e^1=e
扩展资料:
洛必达法则的使用条件:
2、在变量所趋向的值的去心邻域内,分子和分母均可导;
3、分子和分母分别求完导后比值存在或趋向于无穷大。
即:设函数f(x)和F(x)满足下列条件:
(1)x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
(2)在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
(3)x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))。
lna=lnlim(1+sinx)^(1/x)
lna=limln(1+sinx)^(1/x)
lna=lim1/xln(1+sinx)=limln(1+sinx)/x
x-0,ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=ln1=0
x-0,分母-0
0/0型
洛必达法则
1/(1+sinx)xcosx/1
=cosx/(1+sinx)
x-0
原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
lna=1
a=e^1=e
答:原函数的极限值为e.
解:
lim ln[(1+sinx)^(1/x)]
x→0
=lim (1/x)ln(1+sinx)
x→0
=lim ln(1+sinx)/x
x→0
=lim [cosx/(1+sinx)]/1
x→0
=cos0/(1+sin0)
=1/(1+0)
=1
lim [(1+sinx)^(1/x)]=e¹=e
x→0