Question

设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0是f'(x)g(x)+f(x)g'(x

)>0且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为

Answer 1

本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数G(x)=f(x)g(x),利用 G(x)的性质解决问题.
解:设 G(x)=f(x)g(x),则 G′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.
∴ G(x)在(－∞,0)上是增函数且 G(－3)=0.
又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴G (x)=f(x)g(x)为奇函数.
∴ G(x)在(0,+∞)上也是增函数且 G(3)=0.
当x<－3时, G(x)<G (－3)=0,即f(x)g(x)<0;
当－3<x<0时, G(x)>G (－3)=0,即f(x)g(x)>0.
同理,当0<x<3时, f(x)g(x)<0;
当x>3时,f(x)g(x)>0.
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).
答案:(－∞,－3)∪(0,3)