Question

初二超难几何题

如图，等腰直角△OAB中，∠AOB=90°，AO=BO,∠M’ON为三角形外任意的45°角，一边ON交BA延长线于N，一边OM’的反向延长线OM交AB延长线于M。
求证：MN²=AM²+BN²

Answer 1

很容易得到∠ANO=∠BOM,∠AON=∠BMO则
△ANO相似△BOM，
则AN/BO=AO/BM
AN*BM=AO*BO=AO²

MN²=(AN²+AB²+BM²)=AN²+BM²+2AN*BM+2AB(AN+BM)+AB²
AM²+BN²=(AB+BM)²+(AB+AN)²=AB²+BM²+2AB*BM+AB²+AN²+2AB*AN
MN²-(AM²+BN²)=AB²-2AN*BM=AB²-2AO²

根据勾股定理AB²=AO²+BO²=2AO²
所以MN²-(AM²+BN²)=0
即MN²=AM²+BN²

前面的步骤和格式改成自己的习惯吧
哎呦好累 给分吧

Answer 2

以0为圆心OA为半径做圆。
取B关于ON的镜像点P,且有BP垂直ON 令交点为K，连接PN。连接AP,交M'M于G，连接PM.
因为P为B镜像点,所以三角形OPB为等腰三角形，PB为底，
则有PKN全等BKN，即角PNK=角BNK. 且PN=BN
【需证G为垂足。这步没想明白】
同理 角AMG=角PMG。 且AM=PM
因为AMG+BNH等于45 外角等于不相邻俩内角和。
所以PNB+KMA=90度
所以 APB=90度
三角形ABp中，MP方+PN方=MN方 换算。得
AM方+BN方=MN方 得证