求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域
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解:
y=sinx+cosx+sinxcosx
=½sin2x+√2sin(x+π/4)
=-½cos(2x+π/2)-√2sin(x+π/4)
=-½[1-2sin²(x+π/4)]-√2sin(x+π/4)
=sin²(x+π/4)-√2sin(x+π/4)-½
=[sin(x+π/4) -√2/2]²-1
sin(x+π/4)=√2/2时,y取得最小值,ymin=-1
sin(x+π/4)=-1时,y取得最大值,ymax=½+√2
函数的值域为[-1,½+√2]
y=sinx+cosx+sinxcosx
=½sin2x+√2sin(x+π/4)
=-½cos(2x+π/2)-√2sin(x+π/4)
=-½[1-2sin²(x+π/4)]-√2sin(x+π/4)
=sin²(x+π/4)-√2sin(x+π/4)-½
=[sin(x+π/4) -√2/2]²-1
sin(x+π/4)=√2/2时,y取得最小值,ymin=-1
sin(x+π/4)=-1时,y取得最大值,ymax=½+√2
函数的值域为[-1,½+√2]
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y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角
三角函数关系
sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=(T^2-1)/2
所以y=T+(T^2-1)/2
整理得,y=1/2(T+1)^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值
=
-1
当T=√2时,y取得最大值
=
1/2+√2
值域
[-1,1/2+√2
]
令sinx+cosx=T,(1)
由同角
三角函数关系
sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=(T^2-1)/2
所以y=T+(T^2-1)/2
整理得,y=1/2(T+1)^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值
=
-1
当T=√2时,y取得最大值
=
1/2+√2
值域
[-1,1/2+√2
]
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(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=1/2×(sinx+cosx)^2-1/2,所以
y=1+sinx+cosx+sinxcosx=1/2×(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1/2=1/2×(1+sinx+cosx)^2
-√2≤sinx+cosx≤√2,所以1-√2≤1+sinx+cosx≤1+√2,所以0≤y≤1/2×(1+1+√2)^2≤3+2√2
所以,函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域是[0,3+2√2]
y=1+sinx+cosx+sinxcosx=1/2×(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1/2=1/2×(1+sinx+cosx)^2
-√2≤sinx+cosx≤√2,所以1-√2≤1+sinx+cosx≤1+√2,所以0≤y≤1/2×(1+1+√2)^2≤3+2√2
所以,函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域是[0,3+2√2]
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