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急求高手解答一道微积分题目!!!!
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a<c<b),试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)<0...
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a<c<b),试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)<0
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因 f(a)=0,f(c)>0,故必存ξ1∈(a,c),使f′(ξ1)=[f(a)-f(c)]/(a-c)>0
又 f(b)=0,f(c)>0,故必有ξ2∈(c,b),使f′(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0
由于 f(x)在(a,b)内有二阶导数,必存在ξ∈(ξ1,ξ2) ,
使得 f ′′(ξ)=[f′(ξ1)-f′(ξ2)]/(ξ1-ξ2)<0
又 f(b)=0,f(c)>0,故必有ξ2∈(c,b),使f′(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0
由于 f(x)在(a,b)内有二阶导数,必存在ξ∈(ξ1,ξ2) ,
使得 f ′′(ξ)=[f′(ξ1)-f′(ξ2)]/(ξ1-ξ2)<0
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