Question

高一数学,急死

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b是常数且a不等于0)满足条件:f(4)=0且方程f(x)=x有两个相等的根
(1)求f(x)的解析式
(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为 [m,n]和[2m,2n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由.
(注:x^2代表x的2次方)

Answer 1

解：（1）
∵方程ax^2＋（b－1）x＝0（a≠0）有等根， ∴ △=（b-1)(b-1)-4a*0=0
推出b=1 又f（2）＝0，∴4a＋2b＝0．
∴ a=-1/2．
∴f(x)=(-1/2)x^2+x ．
（2）
∵f(x)=(-1/2)(x-1)^2+1/2<=1/2 ，
∴ 2n<=1/2，即 n<=1/4．
又二次函数 y=(-1/2)(x-1)^2+1/2的对称轴方程为x＝1，
∴当n<=1/4 时，f（x）在〔m，n〕上为增函数，
设m、n存在，则f(m)=2m和f(n)=2n 即 (-1/2)m^2-m=0
推出m=0或m=-2
(-1/2)n^2-n=0 推出n=0或n=-2
∵ m<n<=1/4，
∴m=-2,n=0
即存在实数m＝－2，n＝0使f（x）的定义域为〔－2，0〕，值域为〔－4，0〕．