Question

已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],当x∈[-2,0]时,f(x)=|

已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],当x∈[-2,0]时,f(x)=|x+1|-1；偶函数g(x)的定义域为[-3，3]，当x∈[0,3]时，g(x)=x^2-2x.设函数f(g(x))有m个不同的零点，函数g(f(x))有n个不同的零点，则m+n=?

Answer 1

首先，f[g(x)]和g[f(x)]都是偶函数，画个图就能发现（下文中方括号内均表示x的取值范围）：
f(x)= -x-2 [-2,-1] 或 x [-1,1] 或 -x+2 [1,2]，值域：[-1,1]
g(x)= x^2+2x [-3, 0] 或 x^2-2x [0,3]，值域：[-1, 3]
f[g(x)]中，g(x)的值域需在f(x)的定义域内，g[f(x)]也同理，所以在f[g(x)]中，需要先解出g(x)值域在-1和2之间的部分，即x属于[-1-根3, 1+根3]，又由于g(x)在-1和1之间与1和2之间时f[g(x)]的表达式不同，所以还要解出g(x)值域在1和2之间的部分，即x属于[-1-根3, -1-根2]或[1+根2, 1+根3]，中间部分的x就是让g(x)值域为[-1, 1]的部分，那么
f[g(x)]= -(x^2+2x)+2 [-1-根3, -1-根2] 或 x^2+2x [-1-根2, 0] 或 x^2-2x [0, 1+根2] 或 -(x^2-2x)+2 [1+根2, 1+根3]
类似：g[f(x)]= (-x-2)^2+2(-x-2) [-2,-1] 或 x^2+2x [-1,0] 或 x^2-2x [0,1] 或 (-x+2)^2-2(-x+2) [1,2]
则f[g(x)]有5个零点：-1-根3、-1、0、1、1+根3；g[f(x)]有3个零点：-2、0、2
于是m+n=5+3=8