Question

高中函数题 在线等解答

设函数f(x)=2^x-1有反函数f^-1(x),g(x)=log4为底(3x+1),(1)若f^-1(x)<=g(x),求x的范围;
(2)设H(X)=g(x)-1/2乘f^-1(x),当x属于D时（D为（1）中所求）时函数H(x)的图像与y=a无公共点，求a的范围

Answer 1

先求f^-1(x)
令 y=2^x-1
则 y+1=2^x
x=log(2，y+1) (表示以2为底,y+1的空段对数,以下类同)
∴ f^-1(x)=log(2，x+1)
(1)f^-1(x)<=g(x)即
log(2,x+1)=log[4,(x+1)²]<=log(4,3x+1)
只需 (x+1)²<=3x+1
解得 0<=x<=1
(2)H(x)=log(4,3x+1)-(1/2)log(2,x+1)
=log(4,3x+1)-log(4,x+1)
=log[4,3-2/(x+1)] 0<=x<=1
单调性讨论：在没圆区间[0,1]内，x+1↑，2/(x+1)↓,3-2/(x+1)↑斗察誉
所以 H(x)在区间D内是单调增函数
Hmax=H(1)=log(4,2)=1/2
所以只需 a>1/2,H(x)的图像与y=a就没有公共点。

Answer 2

f(x)=2^x+a/碧槐(2^x)-1=0
∵2^x≠0
整理启慧桥得(2^x)^2-2^x+a
(2^x-1/悄猛2)^2=1/4-a
x=log2[(√1/4-a) +1/2]