Question

f (x)= cos x ＋2sin x 在区间【0，π／2】上的最小值为多少？

Answer 1

可以化函数为f(x)=根号5sin(x+arcsin(根号5/5)), 这个函数相当于将f(x)=根号5sinx向左平移arcsin(根号5/5)个单位长度，所以只要求f(x)=根号5sinx在[arcsin(根号5/5),pi/2+arcsin(根号5/5)]的最小值，就是要求的最小值. 根据函数图象的性态，可以知道这个最小值在根号5sin(pi/2+arcsin(根号5/5))=-根号5cos(arcsin(根号5/5))=-根号5cos(arccos(2根号5/5))=-2.

Answer 2

f(x)＝cosx＋2sinx＝√5sin(x＋α)，
其中 α＝arcsin(1/√5)，
由于 0≤x≤π/2，
所以 α≤x＋α≤π/2＋α，
函数在 [0，π/2 - α] 上增，
在 [π/2 - α，π/2] 上减，
由于 f(0)＝1，f(π/2)＝2，
所以当 x＝0 时，函数最小值为 1。
(顺便可得，x＝π/2 - α 时，函数最大值为 √5)

Answer 3

解答过程如下:
y=sinx+2cosx
=√5*1/√5*sinx+√5*2/√5*cosx
=√5sin(x+a)，其中a为锐角，且sina=2/√5;
又∵x∈[0，∏/2]
∴当x=0时，y有最小值为
ymin=√5sin(0+a)
=√5*2/√5
=2。