Question

求函数f(x)=x^2-2|x+a|的最小值。

Answer 1

遇到这种情况，最好进行分类讨论，x的不同取值把f(x)的表达式确定下来，如下。
(1)a<=-1；
当x<-a时，f(x)=x^2+2x+2a=(x+1)^2+2a-1,f(x)min=2a-1,x=-1时取到；
当x>=-a时，f(x)=x^2-2x-2a=(x-1)^2-2a+1,f(x)min=a^2,x=-a时取到
a^2-(2a-1)=(a-1)^2>0,故当a<=-1时，f(x)min=2a-1
(2)-1<a<1；
当x<-a时，f(x)=x^2+2x+2a=(x+1)^2+2a-1,f(x)min=a^2,x=-a时取到；
当x>=-a时，f(x)=x^2-2x-2a=(x-1)^2-2a+1,f(x)min>a^2;
故当-1<a<1时，f(x)min=a^2;
(3)a>=-1；
当x<=-a时，f(x)=x^2+2x+2a=(x+1)^2+2a-1,f(x)min=a^2,x=-a时取到；
当x>-a时，f(x)=x^2-2x-2a=(x-1)^2-2a-1,f(x)min=-2a-1,x=-a时取到
a^2-(-2a-1)=(a+1)^2>0,故当a>=-1时，f(x)min=-2a-1

Answer 2

∵|x+a|≦|x|+|a|
∴-|x+a|≥-（|x|+|a|）
∴x^2-2|x+a|≥x^2-2（|x|+|a|）=（|x|-1)²-1-2|a|≥-1-2|a|
函数f(x)=x^2-2|x+a|的最小值y为-1-2|a|，当a≥0时，x=1取得最小值；当a<0时，x=-1取得最小值。