Question

对于任意五个自然数，证明其中一定有3个数，它们的和能被3整除。

Answer 1

证明如下
任何一个自然数，除以3后的余数只能有3种可能：0、1、2。
例如
A
B
C
D
E
是5个自然数，它们除以3后的余数分别为
a
b
c
d
e。
那么
a
b
c
d
e
这5个数
只能有3个值
0
1
2
可供选取。
A
B
C
D
E
中任意取3个数，它们的和是否能被3整除，等效于
各自对应的余数之和是否能被3整除。即原问题可转化为
a
b
c
d
e
中任取3个数，一定能有一组数，其和能被3整除。
因为
a
b
c
d
e
五个数只能取
0
1
2
三个值，所以就五个数而言，只能有如下2种情况出现：
1）
有3个以上（包含3个）数相同，余下的数不再相同。
2）
有2组相同的2个数，另外1个数与它们不再相同。例如，a=b，c=d,
而
a
c
e
互不相等。
对于第1）种情况，因为有3个以上数相同，那么就可以随意选择这相同数中的3个。它们的和
或者为
0+0+0=0、或者为
1+1+1=1，或者为
2+2+2=6。不论怎样，一定能被3整除。
对于2）种情况，一定可以找到互不相等的3个数。它们的和必然为
0+1+2=3。因此能被3整除。
综上所述，命题成立。