Question

如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.求证：BE=2分之1

Answer 1

因为四边形ABCD是矩形，所以角DCF等于角ADC，角ABF=90度
且AD平行于DF
所以角FAD等于角F
又因为E是CD中点
所以CE等于DE
所以RT三角形CEF全等于RT三角形DEA（AAS）所以AE等于EF
又因为三角形ABF是直角三角形所以
BE等于二分之一AF

（此处运用直角三角形
斜边中线等于斜边一半）
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Answer 2

【 解法1】
在矩形ABCD中，
∵E是CD的中点，CE=DE，且BC=AD，∠BCD=∠D=90°
∴△BCE≌△ADE【SAS】
∴BE=AE
又∵∠AED与∠CEF是对顶角，∠D=∠DCF=90°，DE=CE
∴△ADE≌△FCE【ASA】
∴AE=EF
∴BE=AE=EF=1/2AF
【解法2】
∵△ABF与△ECF有一个公共角，且AB∥CD
∴△ABF∽△ECF
又∵E是CD的中点，AB=CD
∴CE=1/2CD=1/2AB
∴EF∶AF=CE∶AB=1∶2
∴E也是AF的中点
∴BE是直角三角形ABF斜边上的中线
∴BE=1/2AF
【直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】

Answer 3

证明：因为正方形
所以
AB平行CD
∠DAE=∠AFB
还有
∠ABC==∠ADC=90°
所以三角形DAE
相似于三角形ABF
所以DE/AD=AB/BF=TANEFC=√2/4
即DE/5√2=√2/4
解得：DE=5/2
在直角三角形ADE中根据勾股定理
AE^2=AD^2+DE^2
AD=5√2
DE=√2/4
求得AE=15/2
做EM平行BF角DB于M点
所以EM/BC=DE/DC=1/2
所以MC/AD=1/2
不难看出
三角形HMF相似于三角形ADH所以HE/AH=EM/AD=1/2
可知
AH/(AH+HE)=2/(2+1)=2/3
即AH/AE=2/3
而AE=15/2
所以
AH=(2/3)*(15/2)=5