Question

问大家一道题：已知曲线y=1/3x~3+4/3.求曲线过点P(2,4)的切线方程

Answer 1

储备知识：
1）曲线
y=x^n对其求导（即求其微分）
y’=n•x^(n-1)
若有点Q（a，a^n）
把x=a代入y’=n•x^(n-1)
得到
y’=n•a^(n-1)即为曲线在点Q处切线斜率
2）[u(x)±v(x)]’=u’(x)±v’(x)
3）直线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)
则直线斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1)
解：对曲线y=(1/3)x³+(4/3)求导
得y’=[(1/3)x³]’+(4/3)’
=3•(1/3)x²+0
=x²
设切线与曲线切点Q（a，(1/3)a³+[4/3]）
则直线PQ斜率：
【(1/3)a³+[4/3]-4】/(a-2)
=(a³-8)/3(a-2)
=(a-2)(a²+2a+4)/3(a-2)
【立方差公式：x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)】
=(a²+2a+4)/3
又由导数知识可知，Q点切线斜率为a²
所以(a²+2a+4)/3=a²
2a²-2a-4=0
a²-a-2=0
a1=2，a2=-1
当a=2时，(1/3)a³+[4/3]=4，即Q（2，4）【此时P即为切点】
此时切线斜率：2²=4
(y-4)=4(x-2)，
即y=4x-4
当a=-1时，(1/3)a³+[4/3]=1，即Q（-1，1）
此时切线斜率：(-1)²=1
(y-1)=1×[x-(-1)]，
即y=x+2
综上所述，切线方程为y=4x-4，y=x+2
【希望对你有帮助】