Question

如图，四边形ABCD内接于圆O，BD是圆O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE。

Answer 1

是外接图吧？

连DA
因为BD是中点
所以∠BAE=90
因为AE⊥CD
所以∠AED=90
因为DA平分∠EDB
所以∠EDA=∠ADB
所以∠ABD=∠EAD
所以AE是.....切线
2
.....
所以∠EAD=30
因为RT三角形AED
ED=1
∠EAD=30
∴AD=ED/Sin∠EAD=2
∵RT三角形ABD
∠ABD=30
AD=2
∴BD=AD/Sin∠ABD=4

Answer 2

（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；
（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．解答：解：（1）AE是⊙O的切线．
理由如下：连接AO．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ODA．
∴∠ADE=∠OAD．
∵AE⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED证得OA⊥AE也可．）
∴AE是⊙O的切线．
（2）延长AO交BC于点F．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．
∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．
∵AF⊥BC，且AF过圆心，
∴BC=2CF=8．

Answer 3

连DA
因为BD是中点
所以∠BAE=90
因为AE⊥CD
所以∠AED=90
因为DA平分∠EDB
所以∠EDA=∠ADB
所以∠ABD=∠EAD
所以AE是.....切线
2
.....
所以∠EAD=30
因为RT三角形AED
ED=1
∠EAD=30
∴AD=ED/Sin∠EAD=2
∵RT三角形ABD
∠ABD=30
AD=2
∴BD=AD/Sin∠ABD=4

Answer 4

1、证明：连接OA
∵AE⊥CD
∴∠DAE+∠EDA＝90
∵DA平分∠BDE
∴∠BDA＝∠EDA
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠BDA
∴∠OAD＝∠EDA
∴∠OAD+∠DAE＝90
∴∠OAE＝90
∴AE是圆O的切线
2、解：
∵∠DCB＝30
∴∠BDC＝90-∠DCB＝60
∴∠BDE＝180-∠BDC＝180-60＝120
∵DA平分∠BDE
∴∠BDA＝∠BDE/2＝120/2＝60
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠BDA＝60
∴等边△OAD
∴AD＝OD
∵AE切圆O于A
∴∠DAE＝90-∠OAD＝90-60＝30
∵AE⊥CD
∴AD＝2DE
∴OD＝2DE
∴BD＝2OD＝4DE
∵DE＝1
∴BD＝4