Question

a>0,b>0,a+b=1,求(1/a^2-1)(1/b^2-1)最小值

Answer 1

=（1/a^2-1)(1/(1-a)^2-1)
=[1/a(1-a)]^2-[1/a^2+1/(1-a)^2]+1
=[1/a+1/(1-a)]^2-{[1/a+1/(1-a)]^2-2/a(1-a)}+1
=[1/a+1/(1-a)]^2-[1/a+1/(1-a)]^2+2/a(1-a)+1
第一个方括号里面可以拆分成两个分式。第二个方括号可以配方成这个样子。然后连个式子可以约分掉
=2/a(1-a)+1
=2/[-(a-0.5)^2+0.25]+1
要使式子最小，则分式的分母要最大。
所以当且仅当a=0.5,b=0.5时，
原式max=9

Answer 2

其实不用那么麻烦
简单的函数求值域
因为a+b=1
==>b=1-a
因为a>0
b>0
==>1-a>0
==>a<1
所以0<a<1
因为(1/a²-1)(1/b²-1)
=(1-a²)(1-b²)/a²b²
=(1-a²)[1-(1-a)²]/a²(1-a)²
=(1-a²)(2a-a²)/a²(1-a)²
=a(1-a)(1+a)(2-a)/a²(1-a)²
=(a+1)(a-2)/a(a-1)
=(a²-a-2)/(a²-a)
=1-/(a²-a)
而2/(a²-a)=2/[(a-1/2)²-1/4]
因为0<a<1
而1/2π∈(0,1)
所以a²-a≥-1/4
==>2/(a²-a) ≤-8
===>
1-2/(a²-a)≥1-(-8)=9
所以1+2/(a²-a)≥9
即当a=b=1/2时
原式取得最小值9