Question

△ABC内接于圆O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC、PD高手进来吧!!很急！！

（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，请证明。
（2）若cos∠PCB=根号5/5,求PA的长

Answer 1

【答案】解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下：
∵P是优弧 的中点，∴ 。∴PB=PC。
若△PAD是以AD为底边的等腰三角形，则PA=PD。
又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB。∴∠DPA=∠BPC。∴∠BPD=∠CPA。
在△PBD与△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD=PA ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。
∴BD=AC=4。
由于以上结论，反之也成立，
∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。
【考点】圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等和相似三角形的判定与性质。
【分析】根据等弧对等弦以及全等和相似三角形的判定与性质进行求解。

Answer 2

解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1

∵∠PCB=∠PAD

∴cos∠PAD=cos∠PCB=√5/5

∴PA= √5