Question

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)如何因式分解得到 a^3+b^3+c^3-3abc

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)如何因式分解得到 a^3+b^3+c^3-3abc

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)^2-c(a+b)+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)(a+b+c)
=(1/2)((a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2)(a+b+c)
因a.b.c是正实数,所以a+b+c>0.
而)(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2≥0
因此
a^3+b^3+c^3-3abc≥0
即a^3+b^3+c^3≥3abc