Question

已知函数f(x）=lnx/x,判断函数的单调性……

已知函数f(x）=lnx/x （1）,判断函数的单调性 （2）若y=xf(x)+1/x的图像总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围 （3）若函数f(x)与g(x)=x/6-m/x+2/3的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值

Answer 1

易得x的取值范围为x>0;
(1)求出f(x）的导数为f’(x）=（1-lnx）/x^2
令f’(x）>=0,得0<x<=e
令f’(x）<0,得x>e
所以原函数在（0，e]上单调增，在（e,正无穷）上单调减
我这边正无穷无法输
（2）y=xf(x)+1/x即y=lnx+1/x（x>0）
于是y'=(1/x)-1/x^2,同上述方法一样可得，
y=xf(x)+1/x在[1,正无穷）上单调增
在（0，1)上单调减
所以可得该函数最小值在x=1处取得，且为1
而
y=xf(x)+1/x的图像总在直线y=a的上方，所以有a<1
(即小于函数的最小值，应该不可写等于号）
(3)g(x)=x/6-m/x+2/3的导函数为：g'(x)=
1/6+m/x^2
f(x)与g(x)=x/6-m/x+2/3的图像有公共点,可得方程：lnx/x=x/6-m/x+2/3
（i）
在公共点处的切线相同，即说明在公共点出两函数的导数值相等，于是有：
（1-lnx）/x^2=1/6+m/x^2
（ii）
于是由（i）/x
+(ii)可解的，x=1,m=5/6
(x=1为公共点处x的值）