Question

判断并证明函数f(x)=ln(1-x)/(1+x)的单调性

Answer 1

定义域(1-x)/(1+x)>0
(1-x)(1+x)>0
(x+1)(x-1)<0
-1<x<1
(1-x)/(1+x)=-1+2/(1+x),-1<x<1时，2/(1+x)是减函数
所以真数是减函数
底数e>1
所以f(x)是减函数
证明
令-1<a<b<1
f(a)-f(b)=ln(1-a)/(1+a)-ln(1-b)/(1+b)
=ln[(1-a)(1+b)/(1+a)(1-b)]
=ln(1-ab-a+b)/(1-ab+a-b)
a<b
所以2a<2b
a-b<-a+b
所以1-ab-a+b>1-ab+a-b,且(1+a)(1-b)>0
即1-ab-a+b>1-ab+a-b>0
所以(1-ab-a+b)/(1-ab+a-b)>1
ln(1-ab-a+b)/(1-ab+a-b)>0
所以-1<a<b<1时
f(a)>f(b)
所以f(x)是减函数