Question

已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值

Answer 1

解：关于X的一元二次方程(K²-2K)X²+(4-6K)X+8=0的解都是整数，有K²-2K≠0,则K≠0且K≠2，△=(4-6K)²-4(K²-2K)×8≥0，即16-48K+36K²⁻32K²+64K≥04K²+16K+16≥0，K²+4K+4≥0，(K+2)≥0,所以K∈R且K≠0且K≠2
方程(K²-2K)X²+(4-6K)X+8=0
(KX-2)×[(K-2)X-4]=0
KX-2=0或(K-2)X-4=0
X=2/K或X=4/(K-2)
若方程两解均为整数，则方程的两解之积与两解之和均为整数，即8/(K²-2K)与(6K-4)/(K²-2K)均为整数
8=1×8=2×4=-1×(-8)=-2×(-4)
若K²-2K=1,则K=1±√2，但2/K不是整数，故舍去；
若K²-2K=8,则K=4或K=-2.当K=4时,2/K=1/2不是整数，故舍去；当K=-2时,2/K=-1是整数,4/(K-2)=1是整数;
若K²-2K=2,则K=1±√3,但2/K不是整数，故舍去；
若K²-2K=4,则K=1±√5,但2/K不是整数，故舍去；
若K²-2K=-1,则K=1,此时2/K=2是整数,4/(K-2)=-4是整数；
若K²-2K=-8,则K无实数根；
若K²-2K=-2,则K无实数根；
若K²-2K=-4,则K无实数根；
所以K=-2或1