Question

已知方程x^4-4x+a=0有两个实根，一个比3大，一个3小，求a的取值范围

Answer 1

x^4-4x+a=0一共有4个根，题目中说的“有两个实根”，是只有两个实根，还是最少有两个实根？
还是方程写得有误？
下面按照方程是x²-4x+a=0解：
△=b²-4ac=(-4)²-4a=16-4a
根据求根公式：
两个解是：（4±√△）/2
=(4±√(16-4a))/2
=(4±2√(4-a))/2
=2±√(4-a)
如果2+√(4-a)＞3，则2-√(4-a)<3①
如果2+√(4-a)<3，则2-√(4-a)＞3②
解①：√(4-a)＞1，4-a＞1，a<3
-√(4-a)<1，√(4-a)＞-1，4-a≥0, a≤4
解得a<3
解②：√(4-a)<1,4-a<1, a＞3
-√(4-a)＞1,无解
故，只有①有解。a的取值范围是：a<3。

Answer 2

一楼这解释错了吧，我去函数绘画软件画出的x^4-4x只有两个解，那么➕a就相当于上下平移而已，是有解的。
我说说我的理解啊。

x^4-4x既然有两解，则+a只是单纯上下平移，当a=0时，x^4-4x=0解得x1=0，x2=³根号4<1.6，可以发现当a为0时两根都比3小，所以a必须小于0向下。

那么a要小于多少才满足一根小于3和大于3呢？
你想想，如果最大的那一个根等于3，那另一个零点肯定在3左边啊，（这里可以画个图理解，x^4-4x+a图象与二次函数基本类似），那么我们实际上考虑最大的一根为3时a取值即可。

则有：令x=3，则3^4-4×3+a=0，∴a＝-69，尤其a=-69时一根为3，要使其大于3，则a<-69.

检验另一个根的方法也很简单，∵方程为y=x^4-4x-69时，令x=0，则y=-69，即a=-69时，图象必经过（0，-69），那就不可能说一个根为3时另一个根还大于3的情况了，否则必然不经过y轴。

综上：a＜-69.
（如有错误请指正。）

Answer 3

这类函数、方程题先打草稿画图看看：

函数f(x)=x**4-4*x的图象

方程x**4-4*x+a=0 的根即函数f(x)=x**4-4*x与函数g(x)=-a图象交点的横坐标，
首先保证有两个交点，因为f(x)min = 0,所以-a>0,即a<0，
要使得x1>3且x2<3，由函数图象对称性，只需确保x1>3即可,
那么-a>f(3),解得a<-69,
综上，a<-69就是所求.

Answer 4

a<3,

令f(x)=x^2-4x+a

图像开口向上，与x轴有两 个交点，各在3的左右

故

f(3)<0

即

a<3

Answer 5

y =x^4-4x+a
y' = 4x^3-4
y'' = 12x^2 > 0 ==> 此曲线处处concave up.
代入：x = -3, y = 0 ==> a = -12-81 = -93
代入：x = 3, y = 0 ==> a = 12-81 = -69
当 a < -93 时，可以满足方程要求的条件。
答案：a < -93