Question

已知a＞0，函数f(x)＝|x?2a|x+2a在区间[1，4]上的最大值等于12，则a的值为______

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

分析：讨论x-2a在区间[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．
解答：解：（1）当x-2a在区间[1，4]上恒大于零时，
∵x-2a＞0，∴a＜
x
2
；
当x=1时，满足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜
1
2
；
此时函数f（x）=
x−2a
x+2a
=1-
4a
x+2a
，
该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=
1
2
，
∴a=
2
3
，不满足a＜
1
2
的假设，舍去．
（2）当x-2a在区间[1，4]上恒小于零时，
∵x-2a＜0，∴a＞
x
2
；
当x=4时，满足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此时函数f（x）=
−(x−2a)
x+2a
=
4a
x+2a
-1，
该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=
1
2
，
∴a=
3
2
，不满足a＞2的假设，舍去．
（3）由前面讨论知，当
1
2
＜a＜2时，x-2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，
①当x＜2a时，x-2a＜0，此时函数f（x）=
4a
x+2a
-1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=
1
2
；
②当x＞2a时，x-2a＞0．此时函数f（x）=1-
4a
x+2a
在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=
1
2
；
总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；
当函数在x=1处取最大值时，解得a=
3
2
，此时函数f（x）=
|x−3|
x+3
，将函数的另一个最大值点x=4代入得：
f（4）=
1
7
，
∵f（1）＞f（4），∴满足条件；
当函数在x=4处取最大值时，解得a=
2
3
，此时函数f（x）=

|x−
4
3
|

x+
4
3

，将函数的另一个最大值点x=1代入得：
f（1）=
1
7
，
∵f（1）＜f（4），∴满足条件；
∴a=
2
3
或a=
3
2
；
故答案为：
2
3
或
3
2
．