Question

设A是n阶实矩阵,证明：r(A)=1的充要条件是存在n维非零列向量a,b使得 A=ab^T

Answer 1

证:必要性.因为 R(A)=1
所以 A有一个非零行,且其余行都是此行的倍数
设此行为 b^T
则 A =
k1b^T
...
knb^T
令 a = (k1,...,1,...,kn)^T
则 A=ab^T
充分性.
因为存在非零列向量a及非零行向量b^T,使A=ab^T
所以A≠0.所以 R(A)>=1.
又 R(A)=R(ab^T)