设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E

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机器1718
2022-07-08 · TA获得超过6836个赞
知道小有建树答主
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充分性:
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得:AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知:存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设:对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R(A)<m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R(A)=m.
必要性得证.
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