Question

设A是一个n阶矩阵。试证：存在一个n阶非零矩阵B，使得AB＝O的充分必要条件是：|A|＝0

Answer 1

由ab=0，而且b为非零矩阵，所以存在b的某个列向量bj为非零列向量，满足abj=0．
即方程组ax=0有非零解，
所以|a|=0；
反之：若|a|=0，则ax=0有非零解，
则存在非零矩阵b，满足ab=0．
所以，ab=0的充分必要条件是：|a|=0．

Answer 2

证明:
必要性.
由AB=0知B的列向量都是AX=0的解
再由B是非零矩阵知AX=0有非零解
所以
|A|
=
0.
充分性:
由|A|=0知AX=0有非零解b1.
令B=(b1,0,0,...,0)
--除第1列其余都是0的矩阵
则有
AB=0
且
B
是非零矩阵.

Answer 3

若a是可逆矩阵即 | a | ≠0，那么a可以转化为有限个初等矩阵的乘积，ab=0相当于b做初等行变换转化为零矩阵，与条件b为非零矩阵矛盾了，所以a不为可逆矩阵即 | a | =0

Answer 4

详情如图所示

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