Question

设A是n阶方阵，A≠0.，则存在一个非零矩阵B，使得AB＝0的充要条件是│A│＝0

Answer 1

如果 |A| = 0, 所以 0 为A的特征根。所以 存在 n*1 向量 x≠0使得 Ax = 0, 让B = (x, x,...,x),即n个x构成的n*n 阵。 则 AB = 0, 且 B≠0。

如果 存在一个非零矩阵B，使得AB＝0， 设 B=（x1,...,xn）,其中 xi 都为列向量。AB=0 ==> Axi = 0. 因为 B≠0， 必有一个 xi≠0. 所以 0 为A的特征根。 所以 |A| = 0.

Answer 2

必要性：对AB=0两边取行列式，即│AB│=│A││B│=0，
因B为非零矩阵，故│B│不等于零，
所以，│A│=0
充分性：假设AB=C，对AB=C两边取行列式，即│AB│=│A││B│=│C│，
因为│A│=0，故│C│=0，即│AB│=│A││B│=0，所以存在非零矩阵B，使得AB=0

Answer 3

│B│≠0